ПАРАБОЛА

    Пусть на плоскости задана прямая d и точка F, не принадлежащая этой прямой. Геометрическое место точек, равноудаленных от прямой d и точки F, называется параболой. Прямая d называется директрисой, а точка F - фокусом параболы (рис. 1).

    Для того чтобы нарисовать параболу, потребуются линейка, угольник, нить длиной, равной большему катету угольника, и кнопки. Прикрепим один конец нити к фокусу, а другой - к вершине меньшего угла угольника. Приложим линейку к директрисе и поставим на нее угольник меньшим катетом. Карандашом натянем нить так, чтобы его острие касалось бумаги и прижималось к большему катету. Будем перемещать угольник и прижимать к его катету карандаш так, чтобы нить оставалась натянутой. При этом карандаш будет вычерчивать на бумаге параболу (рис. 2).
    Осью параболы называется прямая, проходящая через фокус и перпендикулярная директрисе. Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.
    Прямая, имеющая с параболой только одну общую точку и не перпендикулярная ее директрисе, называется касательной к параболе.
    Теорема. Пусть A – точка на параболе с фокусом F и директрисой d, АD – перпендикуляр, опущенный на директрису (рис. 3). Тогда касательной к параболе, проходящей через точку A, будет прямая, содержащая биссектрису угла FAD.
    Доказательство. Докажем, что прямая a, содержащая биссектрису угла FAD будет касательной к параболе (рис. 3). Действительно, треугольник FAD равнобедренный. Следовательно, прямая a будет серединным перпендикуляром к отрезку FD. Для произвольной точки A' прямой а, отличной от А, опустим перпендикуляр A'D' на прямую d. Тогда

А'F = A'D > A'D'.

Это означает, что точка A' не принадлежит параболе и, следовательно, прямая а имеет только одну общую точку А с параболой, т.е. является касательной.

    Фокальное свойство параболы. Если источник света поместить в фокус параболы, то лучи, отразившись от параболы, пойдут в одном направлении, перпендикулярном директрисе.
    Воспользуемся тем, что угол падения света равен углу отражения и тем, что от кривой свет отражается также как от касательной, проведенной в точку падения.
    Пусть A – точка падения луча, исходящего из фокуса F параболы, a – касательная, AD – прямая, перпендикулярная директрисе (рис. 3). Тогда углы 1 и 2 равны, так как касательная a содержит биссектрису угла FAD. Углы 2 и 3 равны, как вертикальные углы. Следовательно, углы 1 и 3 равны. Поскольку угол падения луча света в точке A равен углу 1, то угол отражения будет равен углу 3, т.е. направление отраженного луча будет перпендикулярно директрисе.
    Фокальное свойство параболы используется при изготовлении отражающих поверхностей прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, телескопов, параболических антенн и т.д.
    Построение касательной к параболе. Пусть парабола задана фокусом F и директрисой d. Используя циркуль и линейку, построим касательную к параболе, проходящую через данную точку C.
    С центром в точке C и радиусом CF проведем окружность и найдем ее точки пересечения с директрисой d. Если расстояние от точки C до фокуса больше, чем расстояние до директрисы, то таких точек две (рис. 4). Обозначим их D₁ и D₂. Проведем биссектрисы углов FCD₁ и FCD₂ соответственно. Прямые a₁ и a₂, содержащие эти биссектрисы являются серединными перпендикулярами к отрезкам FD₁ и FD₂и, значит, будут искомыми касательными к параболе. Для построения точек касания через точки D₁ и D₂ проведем прямые, перпендикулярные директрисе и найдем их точки пересечения A₁ и A₂ с прямыми a₁ и a₂. Они и будут искомыми точками касания.
    Может случиться, что расстояние от точки C до фокуса равно расстоянию до директрисы. В этом случае точка C будет лежать на параболе, окружность с центром в точке C и радиусом CF будет касаться директрисы в некоторой точке D и, следовательно, через точку C будет проходить одна касательная – биссектриса угла FCD.
    В случае, если расстояние от точки C до фокуса меньше, чем расстояние до директрисы, то точек пересечения окружности с директрисой нет и, следовательно, нет касательных к параболе, проходящих через эту точку.
    Лабораторная работа. Укажем способ получения параболы из листа бумаги. Возьмем лист бумаги прямоугольной формы и отметим около его большой стороны точку F. Сложим лист так, чтобы точка F совместилась с какой-нибудь точкой D на большой стороне, и на бумаге образовалась линия сгиба a (рис. 5). Линия сгиба будет серединным перпендикуляром к отрезку FD и, следовательно, касательной к параболе. Разогнем лист и снова согнем его, совместив точку F с другой точкой большой стороны. Сделаем так несколько раз, пока вся бумага не покроется линиями сгибов. Линии сгибов будут касательными к параболе. Граница участка внутри этих сгибов будет иметь форму параболы (рис. 5).

Задачи

1. Для заданных фокуса и директрисы постройте соответствующую им параболу.

2. Расстояние от фокуса параболы до директрисы равно 4 см. Чему равно наименьшее расстояние от точек на параболе до директрисы? Укажи­те соответствующую точку на параболе.

3. Для точки F, не принадлежащей прямой d, найдите геометрическое место точек, расстояния от которых до точки F: а) меньше расстояния до прямой d; б) больше расстояния до прямой d.

4. Что будет происходить с параболой, если фокус: а) удаляется от директрисы; б) приближается к директрисе?

5. Для параболы с заданными фокусом и директрисой проведите касательную, проходящую через данную точку: а) на параболе; б) вне парабо­лы.

6. Для параболы с заданными фокусом и директрисой проведите касательную, перпендикулярную оси параболы.

7. Докажите, что две касательные к параболе, проведенные из точки, принадлежащей директрисе, перпендикулярны.

8. Найдите геометрическое место точек, из которых парабола видна под прямым углом.

9. Для заданных фокуса и директрисы параболы, с помощью циркуля и линейки постройте несколько точек параболы.

10. Даны фокус параболы и две касательные. Постройте директрису этой параболы.

11. Даны фокус, касательная и на ней точка касания. Постройте директрису параболы.

12. Даны директриса параболы и две касательные. Постройте фокус параболы.

13. Даны директриса, касательная и на ней точка касания. Постройте фокус.

14. Даны две пересекающиеся прямые. Нарисуйте какую-нибудь параболу, касающуюся этих прямых. Сколько таких парабол? Какие точки плоскости могут быть фокусами таких парабол?

15. Дана парабола. Укажите способ нахождения ее фокуса и директрисы.